ПОЯСНИТЕЛЬНАЯЗАПИСКА
Учебный курс «Вероятность и статистика» углублённого уровня является
продолжением и развитием одноименного учебного курса углублённого уровня
на уровне среднего общего образования. Учебный курс предназначен для
формирования у обучающихся статистической культуры и понимания роли
теории вероятностей как математического инструмента для изучения случайных
событий, величин и процессов. При изучении курса обогащаются представления
обучающихсяометодахисследованияизменчивогомира,
развиваетсяпонимание
значимости и общности математических методов познания как неотъемлемой
части современного естественно-научного мировоззрения.
Содержаниеучебногокурсанаправленоназакреплениезнаний,полученных
при изучении курса на уровне основного общего образования, и на развитие
представлений о случайных величинах и взаимосвязях между ними на важных
примерах, сюжеты которых почерпнуты из окружающего мира. В результате у
обучающихся
должно
сформироваться
представление
о
наиболее
употребительныхи общихматематическихмоделях, используемыхдляописания
антропометрических и демографических величин, погрешностей в различные
рода измерениях, длительности безотказной работы технических устройств,
характеристикмассовыхявленийипроцессоввобществе.Учебныйкурсявляется
базой для освоения вероятностно-статистических методов, необходимых
специалистам не только инженерных специальностей, но также социальных и
психологических, поскольку современные общественные науки в значительной
мереиспользуютаппаратанализабольшихданных.
Центральнуючастьучебного
курса занимает обсуждение закона больших чисел – фундаментального закона
природы, имеющего математическую формализацию.
Всоответствиисуказаннымицелямивструктуреучебногокурса
«Вероятность и статистика» на углублённом уровне выделены основные
содержательные линии: «Случайные события и вероятности» и «Случайные
величины и закон больших чисел».
Помимоосновныхлинийвучебныйкурсвключеныэлементытеорииграфов
итеориимножеств,необходимыедляполноценногоосвоенияматериаладанного
учебного курса и смежных математических учебных курсов.
Содержаниелинии«Случайныесобытияивероятности»служитосновойдля
формирования представлений о распределении вероятностей между значениями
случайных величин. Важную часть в этой содержательной линии занимает
изучение геометрического и биномиального распределений и знакомство с их
непрерывными аналогами – показательным и нормальным распределениями.
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами и
распределениями,акцентируютвниманиеобучающихсянаописании и изучении
случайных явлений с помощью непрерывных функций. Основное внимание
уделяется показательному и нормальному распределениям.
Вучебномкурсепредусматриваетсяознакомительноеизучениесвязимежду
случайнымивеличинамииописаниеэтойсвязиспомощьюкоэффициента
корреляциииеговыборочногоаналога.Этиэлементысодержанияразвивают тему
«Диаграммы рассеивания», изученную на уровне основного общего
образования,ивомногомопираютсянасведенияизкурсовалгебрыигеометрии. Ещё
один элемент содержания, который предлагается на ознакомительном уровне –
последовательность случайных независимых событий, наступающих в
единицувремени.Ознакомлениесраспределениемвероятностейколичестватакихсо
бытийноситразвивающий характериявляетсяактуальнымдлябудущих
абитуриентов, поступающих на учебные специальности, связанные с
общественныминауками,психологиейиуправлением.
На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» на углубленном
уровнеотводится68часов:в10классе–34часа(1часвнеделю),в11классе –34 часа (1
час в неделю).
СОДЕРЖАНИЕОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи. Степень (валентность)
вершины. Графы на плоскости. Деревья.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные
события (исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и
вероятностисобытий.Случайныеопытысравновозможнымиэлементарными
событиями.
Операции над событиями:пересечение,объединение, противоположные
события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые
события.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые
испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха. Перестановки
и факториал. Число сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома
Ньютона.
СериянезависимыхиспытанийБернулли.Случайныйвыборизконечной
совокупности.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма
распределения. Операции над случайными величинами. Бинарная случайная
величина. Примеры распределений, в том числе геометрическое и
биномиальное.
11 КЛАСС
Совместное распределение двух случайных величин. Независимые
случайные величины.
Математическое ожидание случайной величины (распределения).
Примеры применения математического ожидания (страхование, лотерея).
Математическое ожидание бинарной случайной величины. Математическое
ожидание суммы случайных величин. Математическое ожидание
геометрического и биномиального распределений.
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины
(распределения). Дисперсия бинарной случайной величины. Математическое
ожиданиепроизведенияидисперсиясуммынезависимыхслучайныхвеличин.
Дисперсия и стандартное отклонение биномиального распределения.
Дисперсия и стандартное отклонение геометрического распределения.
Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли. Закон
больших чисел. Выборочный метод исследований. Выборочные
характеристики. Оценивание вероятности события по выборочным данным.
Проверка простейших гипотез с помощью изученных распределений.
Непрерывные случайные величины. Примеры. Функция плотности
вероятности распределения. Равномерное распределение и его свойства.
Задачи, приводящие кпоказательномураспределению. Задачи, приводящие к
нормальному
распределению.
Функция
плотности
вероятности
показательногораспределения,функция плотностивероятностинормального
распределения. Функция плотности и свойства нормального распределения.
Последовательность одиночных независимых событий. Задачи,
приводящие к распределению Пуассона.
Ковариация двух случайных величин. Коэффициент линейной
корреляции. Совместные наблюдения двух величин. Выборочный
коэффициент корреляции. Различие между линейной связью и причинноследственной связью. Линейная регрессия, метод наименьших квадратов.
ПЛАНИРУЕМЫЕРЕЗУЛЬТАТЫОСВОЕНИЯУЧЕБНОГОКУРСА
«ВЕРОЯТНОСТЬИСТАТИСТИКА»(УГЛУБЛЕННЫЙУРОВЕНЬ)НА
УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕРЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданскоговоспитания:
сформированностьгражданскойпозицииобучающегося
какактивногои
ответственногочленароссийскогообщества,представлениеоматематических
основах функционирования различных структур, явлений, процедур
гражданского
общества
(выборы,
опросы
и
другое),
умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их
функциями и назначением;
2) патриотическоговоспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к
прошлому и настоящему российской математики, ценностное отношение к
достижениям российских математиков и российской математической школы,
использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственноговоспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим
применениемдостиженийнаукиидеятельностьюучёного,осознаниеличного
вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетическоговоспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических
закономерностей,объектов,задач,решений,рассуждений,восприимчивостьк
математическим аспектам различных видов искусства;
5) физическоговоспитания:
сформированность умения применять математические знания в
интересахздоровогоибезопасногообразажизни,ответственноеотношениек
своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха, регулярная физическая активность), физическое совершенствование
при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудовоговоспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к
различным сферам профессиональной деятельности, связанным с
математикой и её приложениями, умение совершать осознанный выбор
будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы,
готовностьиспособностькматематическомуобразованиюи
самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному
участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологическоговоспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния
социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды, осознание глобального характера экологических проблем, ориентация
на применение математических знаний для решения задач в области
окружающей среды, планирование поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды;
8) ценностинаучногопознания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровнюразвитиянаукииобщественнойпрактики,пониманиематематической
наукикаксферычеловеческойдеятельности,этаповеёразвитияизначимости для
развития цивилизации, овладение языком математики и математической
культуройкаксредствомпознаниямира,готовностьосуществлятьпроектную и
исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕРЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательныеуниверсальныеучебныедействия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать
и
преобразовывать
суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия
в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводитьсамостоятельно доказательства математических утверждений
(прямые и от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры, обосновывать собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантоврешения,выбиратьнаиболееподходящийсучётомсамостоятельно
выделенных критериев).
Базовыеисследовательскиедействия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать
свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование
по установлению особенностей математического объекта, явления, процесса,
выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работасинформацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на
вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизироватьиинтерпретироватьинформациюразличныхвидовиформ
представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать
надёжность
информации
по
самостоятельно
сформулированным критериям.
Коммуникативныеуниверсальныеучебныедействия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целямиобщения,ясно,точно,грамотновыражатьсвоюточкузрениявустных
и
письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории.
Регулятивныеуниверсальныеучебныедействия Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с
учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать
и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль,эмоциональныйинтеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов, владеть
способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оцениватьсоответствиерезультатацелииусловиям,объяснятьпричины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку,
давать оценку приобретённому опыту.
Совместнаядеятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных задач, принимать цель совместной
деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять
видыработ,договариваться,обсуждатьпроцессирезультатработы,обобщать
мнения нескольких людей;
участвоватьвгрупповыхформахработы(обсуждения,обменмнений,
«мозговыештурмы»ииные),выполнятьсвоючастьработыикоординировать
своидействиясдругимичленамикоманды,оцениватькачествосвоеговклада
в
общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕРЕЗУЛЬТАТЫ
Кконцу10классаобучающийсянаучится:
свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф,
путь в графе, цепь, цикл, дерево, степень вершины, дерево случайного
эксперимента;
свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт),
случайное событие, элементарное случайное событие (элементарный исход)
случайного опыта, находить вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями;
находить и формулировать события: пересечение, объединение данных
событий, событие, противоположное данному, использовать диаграммы
Эйлера, координатную прямую для решения задач, пользоваться формулой
сложения вероятностей для вероятностей двух и трех случайных событий;
оперироватьпонятиями:условнаявероятность,умножениевероятностей,
независимые события, дерево случайного эксперимента, находить
вероятности событий с помощью правила умножения, дерева случайного
опыта, использовать формулу полной вероятности, формулу Байеса при
решении задач, определять независимость событий по формуле и по
организации случайного эксперимента;
применять изученные комбинаторные формулы для перечисления
элементов множеств, элементарных событий случайного опыта, решения
задач по теории вероятностей;
свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт
(испытание), успех и неудача, независимые испытания, серия испытаний,
находитьвероятностисобытий:всериииспытанийдопервогоуспеха,всерии
испытанийБернулли,вопыте,связанномсослучайнымвыборомизконечной
совокупности;
свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, диаграмма распределения, бинарная случайная величина,
геометрическое, биномиальное распределение.
Кконцу11классаобучающийсянаучится:
оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных
величин, использовать таблицу совместного распределения двух случайных
величин для выделения распределения каждой величины, определения
независимости случайных величин;
свободно оперировать понятием математического ожидания случайной
величины (распределения), применять свойства математического ожидания
при решении задач, вычислять математическое ожидание биномиального и
геометрического распределений;
свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение
случайной величины, применять свойства дисперсии случайной величины
(распределения) при решении задач, вычислять дисперсию и стандартное
отклонение геометрического и биномиального распределений;
вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать
характеристики генеральной совокупности данных по выборочным
характеристикам. Оценивать вероятности событий и проверять простейшие
статистические гипотезы, пользуясь изученными распределениями.
ТЕМАТИЧЕСКОЕПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
п/п
Наименованиеразделовитем
программы
Количество часов
Контрольные
Всего
работы
1
Элементытеории графов
3
2
Случайныеопыты,случайныесобытия и
вероятности событий
3
3
Операции над множествами и
событиями. Сложение и умножение
вероятностей.Условнаявероятность.
Независимыесобытия
Электронные(цифровые)
образовательныересурсы
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6121/start/
38474/https://lesson.edu.ru/lesson/f3527f08-2062401c-946a-2f13326ec015?backUrl=
%2F02.4%2F07
https://lesson.edu.ru/02.4/10
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4045/start/149136/
https://lesson.edu.ru/02.4/10
5
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4927/start/285007/
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4089/start/131703/
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4064/start/38069/
https://lesson.edu.ru/02.4/10
4
1
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4028/start/327124/
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4928/start/38164/
https://lesson.edu.ru/02.4/10
1
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6119/start/285193/
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4929/start/38412/
https://lesson.edu.ru/02.4/10
4
Элементыкомбинаторики
5
Серии последовательных испытаний.
ИспытанияБернулли.Случайныйвыбор
из конечнойсовокупности
5
6
Случайныевеличиныи распределения
14
1
34
2
ОБЩЕЕКОЛИЧЕСТВОЧАСОВПО
ПРОГРАММЕ
Практические
работы
1
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4079/start/
38319/https://lesson.edu.ru/02.4/10
2
11 КЛАСС
№
п/п
Наименованиеразделовитем
программы
Количество часов
Всего
Контрольные
работы
Практические
работы
Электронные(цифровые)
образовательныересурсы
1
Законбольшихчисел
5
2
Элементыматематической статистики
6
1
https://lesson.edu.ru/lesson/f3527f08-2062-401c946a-2f13326ec015?backUrl=%2F02.4%2F07
https://lesson.edu.ru/02.4/11
3
Непрерывныеслучайныевеличины
(распределения), показательное и
нормальное распределения
4
1
https://lesson.edu.ru/lesson/f3527f08-2062-401c946a-2f13326ec015?backUrl=%2F02.4%2F07
https://lesson.edu.ru/02.4/11
4
5
РаспределениеПуассона
Связь междуслучайнымивеличинами
2
6
6
Обобщениеисистематизациязнаний
11
1
34
1
ОБЩЕЕКОЛИЧЕСТВОЧАСОВПО
ПРОГРАММЕ
https://lesson.edu.ru/02.4/11
https://lesson.edu.ru/02.4/11
1
3
https://lesson.edu.ru/02.4/11
